<pre>Los triángulos muy especiales - Scientific American Blog Network

En todo el mundo (euclidiano), hasta la escala simple, solo hay un par de triángulos con las siguientes propiedades:

  • Un triángulo es un triángulo rectángulo y uno es isósceles,
  • Todas las longitudes laterales de ambos triángulos son números racionales, y
  • Los perímetros y las áreas de ambos triángulos son iguales.

El triángulo rectángulo de este par tiene longitudes laterales (135, 352, 377), y el isósceles tiene longitudes laterales (132, 366, 366). Si sospecha, puede sumar fácilmente las longitudes de los lados para ver que sus perímetros son los mismos. Calcular áreas es un poco más complicado. Es simple calcular el área de un triángulo rectángulo conociendo solo las longitudes de sus lados: es la mitad del producto de los dos lados más cortos. Para el triángulo isósceles, puedes aplicar Fórmula de Garza, que te da el área de un triángulo usando solo sus longitudes laterales, o primero encuentra la altitud del triángulo usando el teorema de Pitágoras y luego calcula el área del triángulo desde allí. De cualquier manera que lo hagas, encontrarás que el perímetro de cada triángulo es de 864 unidades y el área es de 23,760 unidades cuadradas.

Estos triángulos son muy especiales 1
Un par especial de triángulos. Crédito: Evelyn Lamb

Nunca antes había pensado en tratar de encontrar dos triángulos racionales con los mismos perímetros y áreas, así que no sabía cómo sentirme cuando me enteré. (¿Por qué estaba tan preocupado por saber cómo sentirme? Es una pregunta interesante y está más allá del alcance de esta publicación de blog). ¿Es sorprendente? Si es así, ¿es sorprendente que solo haya uno de esos pares, o sorprendente que no haya más? ¿Debería sorprenderme que las longitudes laterales de estos triángulos tan especiales sean tan grandes como son o tan pequeñas? ¿Debería sorprenderme que el el documento que muestra que este par es único salió el año pasado? ¿O que solo tiene cinco páginas? ¿No es nada sorprendente, o todo es sorprendente? Esta respuesta a una pregunta que nunca supe que me había dejado con más preguntas.

La prueba de que (135, 352, 377) y (132, 366, 366) forman el único par de triángulos con las propiedades deseadas proviene de un campo de las matemáticas llamado geometría algebraica. Para simplificar un poco, la geometría algebraica es como las clases de álgebra de la escuela secundaria: comprender las relaciones entre ecuaciones simbólicas y figuras geométricas en un plano o espacio de dimensiones superiores, subió una muesca. Una pregunta central en gran parte de la geometría algebraica es cómo determinar si una ecuación dada tiene soluciones que sean números enteros o racionales, y si es así, cuántas. (Para que una solución cuente como racional, todas las variables deben tomar valores racionales. Es decir, si la ecuación tiene dos variables, X y y, una solución racional sería aquella en la que ambos X y y son números racionales.) Por ejemplo, la ecuación x2−y2= 5 tiene infinitas soluciones racionales y algunas soluciones enteras, pero la ecuación x3−y3= 5 solo tiene finitamente muchas soluciones racionales y no enteras. Tiene sentido que los puntos racionales sean difíciles de encontrar: después de todo, hay muchos más números irracionales que números racionales. Pero algunos polinomios tienen muchas soluciones racionales y otras no.

Yoshinosuke Hirakawa y Hideki Matsumura, los autores del artículo que revela el par único de triángulos, muestran que encontrar un par de este tipo es equivalente a encontrar soluciones racionales de una ecuación en particular. Luego invocan algunos teoremas sobre cuántas soluciones racionales puede tener una ecuación con ciertas propiedades, persiguen algunas pistas para posibles soluciones racionales y descubren que solo una realmente les da triángulos válidos. La prueba es corta pero requiere algunas herramientas de alta potencia.

Todas las longitudes laterales del triángulo isósceles en el par especial son pares. Hirakawa y Matsumura incluyen un apéndice que muestra que si pedimos que ambos triángulos sean primitivos, es decir, las longitudes laterales de cada triángulo son todos enteros, y no tienen factores comunes mayores que 1; ningún par de triángulos satisfará los tres criterios. La prueba de que no hay un par primitivo que satisfaga todos los requisitos es bastante más simple que la prueba de que su par especial es único. Por otro lado, sin requerir que los triángulos sean rectos o isósceles, hay infinitos pares de triángulos racionales que tienen los mismos perímetros y áreas. No he resuelto completamente cómo sentirme al respecto, pero creo que el problema es un ejemplo más del hecho de que en matemáticas, los límites entre finito e infinito, y fácil y difícil, pueden ser delicados y sorprendentes en sí mismos.

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